Question

已知f（x）是定義在集合M上的函數(shù)，若區(qū)間D⊆M，且對任意x₀∈D，均有f（x₀）∈D，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+

2x-1

在定義域上是否封閉，并說明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=

3x+a

x+1

在區(qū)間[3，10]上封閉，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的值域，從而得出函數(shù)是否封閉；（2）由題意得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是：{x|x≥

1

2

}，
令

2x-1

=t，∴x=

t2+1

2

，（t≥0），
∴f（x）=

t2+1

2

+t=

1

2

（t+1）²≥

1

2

，
∴函數(shù)f（x）=x+

2x-1

在定義域上封閉；
（2）g（x）=3+

a-3

x+1

，
由題意得：3≤3+

a-3

x+1

≤10，
∴

a-3≥0 a-3 4 ≤7

，解得：3≤a≤31．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域，值域問題，考查了新定義問題，是一道中檔題．