Question

13．在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{4}$，8a₂，3a₃，a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₁₆a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程，求出公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)a_n=2×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$時(shí)，b_n=log₁₆a_n=$\frac{3}{4}-\frac{n}{2}$，當(dāng)${a}_{n}=（\frac{1}{4}）^{n-2}$時(shí)，b_n=log₁₆a_n=1-$\frac{n}{2}$，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{4}$，8a₂，3a₃，a₄成等差數(shù)列，
∴2[3×（$\frac{1}{4}{q}^{2}$）]=$8×（\frac{1}{4}q）$+$\frac{1}{4}{q}^{3}$，
解得q=2或q=4或q=0（舍），
∴${a}_{n}=2×（\frac{1}{4}）^{n-1}$或${a}_{n}=4×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=（$\frac{1}{4}$）^n-2．
（2）當(dāng)a_n=2×$（\frac{1}{4}）^{n-1}$時(shí)，b_n=log₁₆a_n=$lo{g}_{16}[2×（\frac{1}{4}）^{n-1}]$=$lo{g}_{16}{2}^{3-2n}$=$\frac{3-2n}{4}$=$\frac{3}{4}-\frac{n}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{3}{4}n-\frac{1}{2}（1+2+3+…+n）$=$\frac{3}{4}n-\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n}{2}-\frac{{n}^{2}}{4}$；
當(dāng)${a}_{n}=（\frac{1}{4}）^{n-2}$時(shí)，b_n=log₁₆a_n=log₁₆[（$\frac{1}{4}$）^n-2]=1-$\frac{n}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=n-$\frac{1}{2}（1+2+3+…+n）$=n-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{3n}{4}-\frac{{n}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)和分組求和法的合理運(yùn)用．