【題目】已知橢圓的一個頂點是,離心率為

)求橢圓的方程;

)已知矩形的四條邊都與橢圓相切,設直線AB方程為,求矩形面積的最小值與最大值.

【答案】;()當S有最大值10;當k=0時,S有最小值8.

【解析】

試題()利用待定系數(shù)法即可,由題意,橢圓的一個頂點是

所以,又,橢圓C的方程是;()注意斜率的討論,當時,

橢圓的外切矩形面積為8. 時, AB所在直線方程為,所以,直線BCAD的斜率均為.聯(lián)立直線AB與橢圓方程可得,令得到,直線AB與直線DC之間的距離為,同理可求BCAD距離為,所以矩形ABCD的面積為,再利用基本不等式即可解決.

試題解析:()由題意,橢圓的一個頂點是

所以

又,離心率為,即,

解得,

故橢圓C的方程是

)當時,

橢圓的外切矩形面積為8.

時,

橢圓的外切矩形的邊AB所在直線方程為,

所以,直線BCAD的斜率均為.

,消去y

,

化簡得:

所以,直線AB方程為

直線DC方程為

直線AB與直線DC之間的距離為

同理,可求BCAD距離為

則矩形ABCD的面積為

由均值定理

僅當,即S有最大值10.

因此,當S有最大值10

K=0時,S有最小值8.

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(3)若這60名學生中男女生比例為,成績不低于60分評估為“成績良好”,否則評估為“成績一般”,試完成下面列聯(lián)表,是否有的把握認為“成績良好”與“性別”有關?

成績良好

成績一般

合計

男生

女生

合計

附:

臨界值表:

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

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