Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx其中常數(shù)a＞0
（1）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）在x∈（0，a）上的極大值和極小值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，當(dāng)a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx（常數(shù)a＞2）可知：其定義域為（0，+∞）．
∴==，
令f^′（x）=0，解得，
∵a＞2，∴．
列表如圖：
由表格可知：當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極大值，且f（1）=-a-1；當(dāng)x=時，函數(shù)f（x）取得極小值，且．
（2）當(dāng)a=4時，函數(shù)f（x）=x²-6x+4lnx存在“類對稱點”，為點P．
當(dāng)a=4時，f（x）=x²-6x+4lnx，∴f^′（x）=2x-6，
設(shè)切點P（m，f（m）），則切線的斜率為f^′（m）=，
則切線的方程為y-f（m）=f^′（m）（x-m），
由在（0，+∞）上恒成立?在（0，+∞）恒成立．（*）
其中為過點（x，f（x））、（m，f（m））的割線的斜率，而f^′（m）為過切點P（m，f（m））的切線的斜率．
要使（*）式恒成立，f^′（x）必取得最小值．
∵[f^′（x）]^′=2=，令f^″（x）=0，解得x=．
由表格可知：當(dāng)且僅當(dāng)x=時，f^′（x）取得極小值，也是最小值．
即當(dāng)x=時，在（0，+∞）上恒成立．
故是函數(shù)f（x）的一個“類對稱點”．
分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)f^′（x）=0時的x的值，再判斷是否是極值點，若是即可求出極值；
（2）利用“類對稱點”的定義，證明在（0，+∞）上恒成立?在（0，+∞）恒成立即可．
點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的方法及正確理解“類對稱點”的意義是解題的關(guān)鍵．