Question

如圖，多面體EF-ABCD中，已知ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，EF=2．
（1）若M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：平面MNE∥平面BCF；
（2）若△BCF中，BC邊上的高FH=3，求多面體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由ABCD是正方形，M、N是AB、CD中點(diǎn)，得MN∥BC，從而BFEM是平行四邊形，由此能證明平面MNE∥平面BCF．
（2）分別求出四棱錐E-AMND的體積和三棱柱MNE-BCF的體積，由此能求出多面體EF-ABCD的體積．

解答： （1）證明：∵ABCD是正方形，M、N是AB、CD中點(diǎn)，
∴MN∥BC，
∵M(jìn)B=2=EF，EF∥AB，
∴BFEM是平行四邊形，
∴ME∥BF，
∵M(jìn)N，ME?平面MNE，BC，BF?平面BCF，
∴平面MNE∥平面BCF
（2）解：∵EF∥AB，
∴四棱錐E-AMND的高就是FH，
∴四棱錐E-AMND的體積V₁=

1

3

×2×4×3=8，
∵平面FBC⊥平面ABCD，
∴MB就是三棱柱MNE-BCF的高，
∴三棱柱MNE-BCF的體積V₂=4×3÷2×2=12，
∴多面體EF-ABCD的體積V=V₁+V₂=20．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．