Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（1）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（2）設(shè)有且僅有一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，求函數(shù)f（x）的解析表達式；
（3）在（2）的條件下，求f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件可令x=2，得到 f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，又由f（2）=3，即可得到f（1）=1，
再由f（0）=a，即可得到f（a）=a；
（2）由條件可得，令x=x₀ ，f（x₀）-x₀²+x₀=x₀，解得x₀=0或1，代入檢驗x₀≠0，
則有f（x）=x²-x+1；
（3）求出對稱軸，討論當m≤

1

2

時，當

1

2

＜m≤1時，當m＞1時，函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，
所以 f（f（2）-2²+2）=f（2）-2²+2，
又由f（2）=3，得f（3-2²+2）=3-2²+2，即f（1）=1；
若f（0）=a，即f（a-0²+0）=a-0²+0，
即f（a）=a；
（2）因為對任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x，
又因為有且只有一個實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀，
所以對任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，
在上式中令x=x₀ ，f（x₀）-x₀²+x₀=x₀，
又因為f（x₀）=x₀，則x₀^2-x₀=0，故x₀=0或1．
若x₀=0，即f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x，
但方程x²-x=x0有兩個不同實根，與題設(shè)條件矛盾，故x₀≠0；
若x₀=1，則有f（x）-x²+x=1，
即f（x）=x²-x+1，易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件；
綜上，所求函數(shù)為f（x）=x²-x+1；
（3）由于f（x）=x²-x+1，對稱軸為x=

1

2

，
當m≤

1

2

時，[0，m]為減區(qū)間，則f（x）的最小值為f（m）=m²-m+1，最大值為f（0）=1；
當m=1時，

1

2

∈[0，1]，則f（x）的最大值為f（0）=1，最小值為f（

1

2

）=

1

4

-

1

2

+1=

3

4

；
當m＞1時，f（m）＞f（0），則f（x）的最大值為f（m）=m²-m+1，最小值為f（

1

2

）=

1

4

-

1

2

+1=

3

4

；
當

1

2

＜m＜1時，f（m）＜f（0），則f（x）的最大值為f（0）=1，最小值為f（

1

2

）=

1

4

-

1

2

+1=

3

4

．
綜上，當m≤

1

2

時，f（x）的最小值為m²-m+1，最大值為1；
當

1

2

＜m≤1時，f（x）的最大值為1，最小值為

3

4

；
當m＞1時，f（x）的最大值為m²-m+1，最小值為

3

4

．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性及運用：求最值，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題和易錯題．