Question

7．設(shè)常數(shù)λ＞0，a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-alnx．
（1）當(dāng)a=$\frac{3}{4}$λ時，若f（x）最小值為0，求λ的值；
（2）對任意給定的正實數(shù)λ，a，證明：存在實數(shù)x₀，當(dāng)x＞x₀時，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{3}{4}$λ時，函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-$\frac{3}{4}λlnx$（x＞0）．f′（x）=$\frac{（x-λ）（4{x}^{2}+9λx+3{λ}^{2}）}{4x（λ+x）^{2}}$，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究其單調(diào)性，即可得出最小值．
（2）函數(shù)f（x）=x-$λ+\frac{{λ}^{2}}{λ+x}$-alnx＞x-λ-alnx．令u（x）=x-λ-alnx．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：當(dāng)a=$\frac{3}{4}$λ時，函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-alnx=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-$\frac{3}{4}λlnx$（x＞0）．
f′（x）=$\frac{x（2λ+x）}{（λ+x）^{2}}$-$\frac{3λ}{4x}$=$\frac{（x-λ）（4{x}^{2}+9λx+3{λ}^{2}）}{4x（λ+x）^{2}}$，
∵λ＞0，x＞0，∴4x²+9λx+3λ²＞0，4x（λ+x）²＞0．
∴當(dāng)x＞λ時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜λ時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=λ時，函數(shù)f（x）取得極小值，即最小值，
∴f（（λ）=$\frac{{λ}^{2}}{2λ}-$$\frac{3λ}{4}lnλ$=0，解得λ=${e}^{\frac{2}{3}}$．
（2）證明：函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-alnx=$\frac{{x}^{2}-{λ}^{2}+{λ}^{2}}{λ+x}$-alnx=x-$λ+\frac{{λ}^{2}}{λ+x}$-alnx＞x-λ-alnx．
令u（x）=x-λ-alnx．
u′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，可知：當(dāng)x＞a時，u′（x）＞0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞增，x→+∞，u（x）→+∞．
一定存在x₀＞0，使得當(dāng)x＞x₀時，u（x₀）＞0，
∴存在實數(shù)x₀，當(dāng)x＞x₀時，f（x）＞u（x）＞u（x₀）＞0．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．