Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足4bsinA=$\sqrt{7}$a，若a，b，c成等差數(shù)列，且公差大于0，則cosA-cosC的值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 4bsinA=$\sqrt{7}$a，由正弦定理可得：4sinBsinA=$\sqrt{7}$sinA，解得sinB．由a，b，c成等差數(shù)列，且公差大于0，可得2b=a+c，A＜B＜C．B為銳角，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$．
可得sinA+sinC=2sinB．設(shè)cosA-cosC=m＞0，平方相加化簡即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵4bsinA=$\sqrt{7}$a，由正弦定理可得：4sinBsinA=$\sqrt{7}$sinA，sinA≠0，解得sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∵a，b，c成等差數(shù)列，且公差大于0，
∴2b=a+c，A＜B＜C．
∴B為銳角，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$．
∴sinA+sinC=2sinB=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
設(shè)cosA-cosC=m＞0，
平方相加可得：2-2cos（A+C）=${m}^{2}+\frac{7}{4}$，
∴2+2cosB=${m}^{2}+\frac{7}{4}$，
∴m²=$\frac{7}{4}$，
解得m=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理、等差數(shù)列的性質(zhì)、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．