Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+mx-2m-1僅存在整數(shù)零點，則實數(shù)m的集合為{0，-8}．

Answer 1

分析 若二次函數(shù)f（x）=x²+mx-2m-1僅存在整數(shù)零點，則x²+mx-2m-1=0僅有整數(shù)根，則x=$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+8m+4}}{2}$是整數(shù)．進(jìn)而由韋達(dá)定理可得m是整數(shù)，分析討論后可得實數(shù)m的集合．

解答 解：若二次函數(shù)f（x）=x²+mx-2m-1僅存在整數(shù)零點，
則x²+mx-2m-1=0僅有整數(shù)根，
即x=$\frac{-m+\sqrt{{m}^{2}+8m+4}}{2}$是整數(shù)．
∴設(shè)m²+8m+4=k²，
則m=-4±$\sqrt{{k}^{2}+12}$，
∵x₁+x₂=-m，m是整數(shù)，故$\sqrt{{k}^{2}+12}$也是整數(shù)，
即k²+12是個完全平方數(shù)，設(shè)k²+12=n²，
則n²-k²=12，
∴（n-k）（n+k）=12，
又由（n-k），（n+k）的奇偶性相同，
故n-k，n+k的值只能為2，6，或-2，-6，
∵解得n=4，n=-4，
∴m=0或m=-8，
代入驗證后，m=0或m=-8都符合題意．
故實數(shù)m的集合為{0，-8}，
故答案為{0，-8}．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，分類討論思想，轉(zhuǎn)化難度比較大，屬于難題．