Question

已知點(diǎn)P是⊙O：x²+y²=9上的任意一點(diǎn)，過P作PD垂直于x軸于D，動點(diǎn)Q滿足，
(1)求動點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)已知點(diǎn)E(1，1)，在動點(diǎn)Q的軌跡上是否存在不重合的兩點(diǎn)M，N，使(O是坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出直線MN的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)P(x₀，y₀)，Q(x，y)，依題意，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x₀，0)，
所以，
又，
所以，即，
因為P在⊙O上，故，
所以，
所以Q點(diǎn)的軌跡方程為。
(2)假設(shè)橢圓上存在不重合的兩點(diǎn)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)滿足，
則E(1，1)是線段MN的中點(diǎn)，且有，即，
又M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)在橢圓上，
所以，
兩式相減，得，
所以，
則直線MN的方程為4x+9y-13=0，
所以動點(diǎn)Q的軌跡上存在點(diǎn)M，N滿足，
此時直線MN的方程為4x+9y-13=0．