Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知AD=2，$BD=2\sqrt{3}$，AB=2CD=4．
（1）設(shè)M是PC上一點(diǎn)，求證：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥BD，BD⊥平面PAD，由此能證明平面MBD⊥平面PAD．
（2）取AD中點(diǎn)為O，則PO是四棱錐的高，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 證明：（1）在三角形ABD中由勾股定理得AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面BDM，
所以平面MBD⊥平面PAD；
解：（2）取AD中點(diǎn)為O，則PO是四棱錐的高，$PO=\sqrt{3}$
底面ABCD的面積是三角形ABD面積的$\frac{3}{2}$，即$3\sqrt{3}$，
所以四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．

點(diǎn)評 本題本題考査空間面面關(guān)系判定及向何體體積的計(jì)算，考查面面垂直的證明，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．