Question

16．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為-1的直線l，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得直線l方程，與雙曲線的漸近線方程聯立求得B，C，根據向量的坐標運算，即可求得b和a的關系，利用雙曲線的離心率公式即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）焦點在x軸上，右頂點A（a，0），則直線l：y=-x+a，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{bx-ay=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{a+b}}\\{y=\frac{ab}{a+b}}\end{array}\right.$，則B（$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{bx+ay=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{a-b}}\\{y=-\frac{ab}{a-b}}\end{array}\right.$，則C（$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，-$\frac{ab}{a-b}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{ab}{a+b}$，$\frac{ab}{a+b}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$），
∵$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，
∴-$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{2{a}^{2}b}{{a}^{2}-^{2}}$，b=2a，
∴c²=a²+b²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程及離心率公式，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．