Question

已知函數(shù)f(x)=2lnx+

1-x2

x

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用1）的結(jié)論求解不等式2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|．并利用不等式結(jié)論比較ln²（1+x）與

x2

1+x

的大小．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1對任意n∈N^*都成立，求a的最大值．

Answer 1

分析：先求函數(shù)的定義域
（1）對函數(shù)求導，利用導數(shù)在區(qū)間（0，+∞）的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)題目中式子的結(jié)構，結(jié)合（1）中單調(diào)性的結(jié)論可考慮討論①x≥1，f（x）≤f（1）=0②0＜x＜1，f（x）＞f（1）=0兩種情況對原不等式進行求解．
（3）若不等式(n+a)ln(1+

1

n

)≤1對任意n∈N^*都成立?a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n恒成立構造函數(shù)g（x）=

1

ln(1+x)

-

1

x

，利用導數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，從而求解函數(shù)的最小值，即可求解a的值

解答：解：（1）f(x)=2lnx+

1-x2

x

，定義域x|x＞0
f′(x)=

2

x

+

-2x×x-(1-x2)

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）對2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|
當x≥1時，原不等式變?yōu)?span id="bnjhtb1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">2lnx≤(1+

1

x

)•(x-1)=

x2-1

x

由（1）結(jié)論，x≥1時，f（x）≤f（1）=0，2lnx+

1-x2

x

≤0即2lnx≤

1-x2

x

成立
當0＜x≤1時，原不等式變?yōu)?span id="dzxtp3v" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">-2lnx≤(1+

1

x

)•(1-x)，即2lnx≥

x2-1

x

由（1）結(jié)論0＜x≤1時，f（x）≥f（1）=0，
綜上得，所求不等式的解集是{x|x＞0}
∵x＞0時，2|lnx|≤(1+

1

x

)•|x-1|，即|lnx2|≤|

x2-1

x

|，
∴ln2x2≤

(x2-1)2

x2

用

x+1

（其中x＞-1）代入上式中的x，可得ln2(x+1)≤

x2

x+1

（3）結(jié)論：a的最大值為

1

ln2

-1
∵n∈N^*，∴ln(1+

1

n

)＞0∵(n+a)ln(1+

1

n

)≤1，∴a≤

1

ln(1+ 1 n )

-n
取x=

1

n

，則x∈（0，1]，∴a≤

1

ln(1+x)

-

1

x

設g(x)=

1

ln(1+x)

-

1

x

，g′(x)=

ln2(x+1)- x2 x+1

x2ln2(1+x)

≤0
∵g（x）遞減，
∴x=1時g最小=g(1)=

1

ln2

-1
∴a的最大值為

1

ln2

-1．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解對數(shù)不等式，函數(shù)的恒成立問題的求解，綜合考查了函數(shù)的知識的運用，要求考生具備綜合解決問題的能力．