20.已知函數(shù)f(x)=x2+3|x-a|(a∈R).
(Ⅰ)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(Ⅱ)設(shè)b∈R,若|f(x)+b|≤3對x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用分段函數(shù),結(jié)合[-1,1],分類討論,即可求M(a)-m(a);
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為3-b≤f(x)≤3-b對x∈[-1,1]恒成立,分類討論,即可求3a+b的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=x2+3|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a,x<a}\\{{x}^{2}+3x-3a,x≥a}\end{array}\right.$,
①當(dāng)a≥1時,f(x)=x2-3x+3a在x∈[-1,1]單調(diào)遞減,則M(a)=f(-1)=4+3a,
m(a)=f(1)=-2+3a,此時M(a)-m(a)=6;
②當(dāng)a≤-1時,f(x)=x2+3x-3a在x∈[-1,1]單調(diào)遞增,
則M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-2-3a,此時M(a)-m(a)=6;
③當(dāng)-1<a<1時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a,-1≤x<a}\\{{x}^{2}+3x-3a,a≤x≤1}\end{array}\right.$,
此時f(x)在x∈[-1,a]單調(diào)遞減,在x∈[a,1]單調(diào)遞增,
則m(a)=f(a)=a2,M(a)=max{f(-1),f(1)}=max{4+3a,4-3a}=4+|3a|,
此時M(a)-m(a)=4+|3a|-a2;
因此M(a)-m(a)=$\left\{\begin{array}{l}{6,a≤-1}\\{4+|3a|{-a}^{2},-1<a<1}\\{6,a≥1}\end{array}\right.$,
(Ⅱ)原問題等價于-3-b≤f(x)≤3-b,由(Ⅰ)知
①當(dāng)a≥1時,則$\left\{\begin{array}{l}{4+3a≤-b+3}\\{-2+3a≥-b-3}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+b≤-1}\\{3a+b≥-1}\end{array}\right.$,此時3a+b=-1;
②當(dāng)a≤-1時,則$\left\{\begin{array}{l}{4-3a≤-b+3}\\{-2-3a≥-b-3}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{b-3a≤-1}\\{b-3a≥-1}\end{array}\right.$,此時b-3a=-1,此時3a+b≤-7;
③當(dāng)-1<a<1時,則m(a)=f(a)=a2,$\left\{\begin{array}{l}{4+|3a|≤-b+3}\\{{a}^{2}≥-b-3}\end{array}\right.$,即-a2-3≤b≤-|3a|-1,
此時-a2+3a-3≤3a+b≤3a-|3a|-1;
由-1<a<1得-a2+3a-3>-7和3a-|3a|-1≤-1,此時-7<3a+b≤-1,
因此3a+b≤-1.

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用,考查函數(shù)的最值,考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,難度大.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-3|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)+3|x-3|≥t對一切實數(shù)x均成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.隨著智能手機的發(fā)展,微信越來越成為人們交流的一種方式.某機構(gòu)對使用微信交流的態(tài)度進行調(diào)查,隨機調(diào)查了 50 人,他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信交流贊成人數(shù)如表.
年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)
頻數(shù)510151055
贊成人數(shù)51012721
(I)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為年齡45歲為分界點對使用微信交流的態(tài)度有差異;
年齡不低于45歲的人年齡低于45歲的人合計
贊成
不贊成
合計
(Ⅱ)若對年齡在[55,65),[65,75)的被調(diào)查人中隨機抽取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中贊成使用微信交流的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望
參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k00.0500.0100.001
k03.8416.63510.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.如表是某班(共30人)在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績(單位:分)
 學(xué)號1 23 45 678 910 1112 1314 15
 數(shù)學(xué)成績 114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60
 物理成績 7249 5129 5749 62 2263 2942 2137 4621
 學(xué)號 16 1718192021222324252627282930
 數(shù)學(xué)成績 89 74829564875665436464856656 51
 物理成績 65 4533282928393445353534202939
將數(shù)學(xué)成績分為兩個層次:數(shù)學(xué)Ⅰ(大于等于80分)與數(shù)學(xué)Ⅱ(低于80分),物理也分為兩個層次:物理Ⅰ(大于等于59分)與物理Ⅱ(低于59分).
(1)根據(jù)這次考試的成績完成下面2×2列聯(lián)表,并運用獨立性檢驗的知識進行探究,可否有95%的把握認為“數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)”?
 物理Ⅰ物理Ⅱ合計 
 數(shù)學(xué)Ⅰ 4  
 數(shù)學(xué)Ⅱ  15 
 合計   30
(2)從該班這次考試成績中任取兩名同學(xué)的成績,記ξ為數(shù)學(xué)與物理成績都達到Ⅰ層次的人數(shù),求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.
可能用到的公式和參考數(shù)據(jù):K2=$\frac{(a+b+c+d)(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
獨立性檢驗臨界值表(部分)
 P(K2≥k0 0.150 0.1000.050 0.0250.010
 k0 2.0722.706 3.8415.024 6.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均相等,且側(cè)棱垂直于底面,則BC1與平面A1B1C1所成的角為45°.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.2015年7月9日21時15分,臺風(fēng)“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸,造成165.17萬人緊急轉(zhuǎn)移安置,5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置,288間房屋倒塌,46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi),直接經(jīng)濟損失12.99億元,距離路率市222千米的梅州也受到了臺風(fēng)的影響,適逢暑假,小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風(fēng)造成的經(jīng)濟損失,將收集的數(shù)據(jù)分成(0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五組,并作出如圖頻率直方圖:
(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)小明向班級同學(xué)發(fā)出倡議,為該小區(qū)居民捐款,現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款救援,設(shè)抽出損失超過8000元的居民為ξ戶,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)臺風(fēng)后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風(fēng)重災(zāi)區(qū)捐款,小明調(diào)查的50戶居民捐款情況圖,根據(jù)圖表格中所給數(shù)據(jù),分別求b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d的值,并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)?
 經(jīng)濟損失不超過4000元經(jīng)濟損失超過4000元合計
捐款超過500元a=30b 
捐款不超過500元cd=6 
合計   
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
附:臨界值表參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,n=a+b+c+d.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知極坐標的極點在平面直角坐標的原點O處,極軸與x軸的正半軸重合,且長度單位相同,若點P為曲線C:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數(shù))上的動點,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m(m>2)
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程,直線l的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)若曲線C上有且只有一點P到直線l的距離為2,求實數(shù)m的值和點P的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.函數(shù)y=sin2x的圖象關(guān)于點($\frac{1}{2}$kπ,0),k∈Z對稱.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.如圖是著名的楊輝三角,則表中所有各數(shù)的和是(  )
A.225B.256C.127D.128

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同步練習(xí)冊答案