分析 (Ⅰ)利用分段函數(shù),結(jié)合[-1,1],分類討論,即可求M(a)-m(a);
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為3-b≤f(x)≤3-b對x∈[-1,1]恒成立,分類討論,即可求3a+b的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)f(x)=x2+3|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a,x<a}\\{{x}^{2}+3x-3a,x≥a}\end{array}\right.$,
①當(dāng)a≥1時,f(x)=x2-3x+3a在x∈[-1,1]單調(diào)遞減,則M(a)=f(-1)=4+3a,
m(a)=f(1)=-2+3a,此時M(a)-m(a)=6;
②當(dāng)a≤-1時,f(x)=x2+3x-3a在x∈[-1,1]單調(diào)遞增,
則M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-2-3a,此時M(a)-m(a)=6;
③當(dāng)-1<a<1時,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+3a,-1≤x<a}\\{{x}^{2}+3x-3a,a≤x≤1}\end{array}\right.$,
此時f(x)在x∈[-1,a]單調(diào)遞減,在x∈[a,1]單調(diào)遞增,
則m(a)=f(a)=a2,M(a)=max{f(-1),f(1)}=max{4+3a,4-3a}=4+|3a|,
此時M(a)-m(a)=4+|3a|-a2;
因此M(a)-m(a)=$\left\{\begin{array}{l}{6,a≤-1}\\{4+|3a|{-a}^{2},-1<a<1}\\{6,a≥1}\end{array}\right.$,
(Ⅱ)原問題等價于-3-b≤f(x)≤3-b,由(Ⅰ)知
①當(dāng)a≥1時,則$\left\{\begin{array}{l}{4+3a≤-b+3}\\{-2+3a≥-b-3}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+b≤-1}\\{3a+b≥-1}\end{array}\right.$,此時3a+b=-1;
②當(dāng)a≤-1時,則$\left\{\begin{array}{l}{4-3a≤-b+3}\\{-2-3a≥-b-3}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{b-3a≤-1}\\{b-3a≥-1}\end{array}\right.$,此時b-3a=-1,此時3a+b≤-7;
③當(dāng)-1<a<1時,則m(a)=f(a)=a2,$\left\{\begin{array}{l}{4+|3a|≤-b+3}\\{{a}^{2}≥-b-3}\end{array}\right.$,即-a2-3≤b≤-|3a|-1,
此時-a2+3a-3≤3a+b≤3a-|3a|-1;
由-1<a<1得-a2+3a-3>-7和3a-|3a|-1≤-1,此時-7<3a+b≤-1,
因此3a+b≤-1.
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用,考查函數(shù)的最值,考查分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,難度大.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
年齡不低于45歲的人 | 年齡低于45歲的人 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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學(xué)號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
數(shù)學(xué)成績 | 114 | 106 | 115 | 77 | 86 | 90 | 95 | 86 | 97 | 79 | 100 | 78 | 77 | 113 | 60 |
物理成績 | 72 | 49 | 51 | 29 | 57 | 49 | 62 | 22 | 63 | 29 | 42 | 21 | 37 | 46 | 21 |
學(xué)號 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
數(shù)學(xué)成績 | 89 | 74 | 82 | 95 | 64 | 87 | 56 | 65 | 43 | 64 | 64 | 85 | 66 | 56 | 51 |
物理成績 | 65 | 45 | 33 | 28 | 29 | 28 | 39 | 34 | 45 | 35 | 35 | 34 | 20 | 29 | 39 |
物理Ⅰ | 物理Ⅱ | 合計 | |
數(shù)學(xué)Ⅰ | 4 | ||
數(shù)學(xué)Ⅱ | 15 | ||
合計 | 30 |
P(K2≥k0) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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經(jīng)濟損失不超過4000元 | 經(jīng)濟損失超過4000元 | 合計 | |
捐款超過500元 | a=30 | b | |
捐款不超過500元 | c | d=6 | |
合計 |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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