Question

一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5海里后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0海里后到達海島C．如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，此船因應(yīng)該以怎樣的方向航行，需要航行的距離的多少？（角度精確到0.1°，距離精確到0.01n mile）
注：cos137°≈-0.7314，sin137°≈0.6820sin19°≈0.3255，cos19°≈0.9455．

Answer 1

解：由題意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+32°=137°，AB=67.5，BC=54
根據(jù)余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=67.5²+54²+2×67.5×54×0.7314=12804.156
AC=113.16
根據(jù)正弦定理，，
sin∠BAC==0.3255．
∠BAC≈19°，北偏東75°-19°=56°．
答：此船因應(yīng)該以北偏東56°方向航行，需要航行的距離的113.16海里．
分析：由題意，結(jié)合圖形知，在△ABC中，∠ABC=137°，AB=67.5，BC=54，故可由余弦定理求出邊AC的長度，由于此時在△ABC中，∠ABC=137°，三邊長度已知，故可由正弦定理建立方程 ，求出∠CAB的正弦值，然后求出北偏東的度數(shù)．
點評：本題是解三角形在實際問題中的應(yīng)用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知識，解題的關(guān)鍵是將實際問題中的距離、角等條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中，正弦定理與余弦定理求角與邊，解三角形在實際測量問題-遙測中有著較為廣泛的應(yīng)用，此類問題求解的重點是將已知的條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中方便利用解三角形的相關(guān)公式與定理，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想．