Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）有如下定義：
定義（1）：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；
定義（2）：設(shè)x₀為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x₀，f（x₀））對稱．
己知f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1處取得極大值．請回答下列問題：
（1）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，求f（x）的最小值和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)，并檢驗(yàn)函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對稱．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1處取得極大值，求出a的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求f（x）的最小值和最大值；
（2）利用函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”的定義，可求A的坐標(biāo)，利用定義（2），即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6x+a
∵f（x）=x³-3x²+ax+2在x=-1處取得極大值
∴f′（-1）=0
∴a=-9    …（2分）
∴f（x）=x³-3x²-9x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-3）=0知x=-1或x=3…（3分）
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）變化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	7	減	-25	增

又f（0）=2，f（4）=-18
∴f（x）_min=-25，f（x）_max=2      …（6分）
（2）由（1）知f′（x）=3x²-6x-9，∴f″（x）=6x-6    …（8分）
由f″（x）=0，即6x-6=0，∴x=1，
又f（1）=-9，
∴f（x）=x³-3x²-9x+2的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)是（1，-9）…（10分）
∵f（1+x）+f（1-x）=-18，2f（1）=-18
∴由定義（2）知：f（x）=x³-3x²-9x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，-9）對稱…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件．