精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2013•房山區(qū)二模)對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設f′(x)是函數y=f(x)的導數,f″(x)是f′(x)的導數,若方程f″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.某同學經過探究發(fā)現:任何一個三次函數都有“拐點”;任何一個三次函數都有對稱中心,且拐點就是對稱中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則該函數的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012
分析:根據函數f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函數f(x)的對稱中心.由于函數的對稱中心為(
1
2
,1),可知f(x)+f(1-x)=2,由此能夠求出所給的式子的值.
解答:解:∵f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則 f′(x)=x2-x+
1
6
,f″(x)=2x-1,令f″(x)=2x-1=0,求得x=
1
2
,
故函數y=f(x)的“拐點”為(
1
2
,1).
由于函數的對稱中心為(
1
2
,1),
∴f(x)+f(1-x)=2,
f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=2×1006=2012,
故答案為 (
1
2
,1),2012.
點評:本小題主要考查函數與導數等知識,考查化歸與轉化的數學思想方法,考查化簡計算能力,求函數的值以及函數的對稱性的應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)已知函數f(x)=(x2+x-a)e
xa
(a>0).
(Ⅰ)當a=1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)當x=-5時,f(x)取得極值.
①若m≥-5,求函數f(x)在[m,m+1]上的最小值;
②求證:對任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的表面積為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)下列四個函數中,既是奇函數又在定義域上單調遞增的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•房山區(qū)二模)已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,2Sn=an+1,則Sn=( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案