Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

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AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M，D，S分別為PB，AB，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面CDM；
（2）求證：SN⊥平面CDM．

Answer 1

分析：（1）欲證PA∥平面CMD，根據(jù)線面平行的判定定理可知只需在平面CMD中找一直線平行PA，因?yàn)镸，D，分別為PB，AB的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知MD∥PA，而MD?平面CMD，PA?平面CMD，滿足定理?xiàng)l件；
（2）欲證SN⊥平面CMD，只需證明SN與平面CDMA中兩條相交直線垂直即可，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知MD⊥SN，然后證明DN=DS，則SN⊥CD，又MD∩CD=D，滿足定理所需條件．

解答：證明：（1）在三棱錐P-ABC中 因?yàn)镸，D，分別為PB，AB的中點(diǎn)，
所以MD∥PA
因?yàn)镸D?平面CMD，PA?平面CMD，所以PA∥平面CMD…．（5分）
（2）因?yàn)镸，D，分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以MD∥PA
因?yàn)镻A⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC
又SN?平面ABC所以MD⊥SN…（9分）
在△ABC中，連接DS，因?yàn)镈，S分別為AB，BC的中點(diǎn)
所以，DS∥AC且DS=

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AC
又AB⊥AC，所以，∠ADS=90°．因?yàn)?span id="wgukcwa" class="MathJye">AC=

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AB
所以AC=AD  所以，∠ADC=45°，因此∠CDS=45°．
又AB=4AN    所以DN=

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AD=

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AC
即DN=DS，故SN⊥CD…（12分）
又MD∩CD=D
所以SN⊥平面CMD…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定，同時(shí)考查了推理論證的能力，屬于中檔題．