Question

【題目】由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到19世紀.直到1872年,德國數學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數的“分割”來定義無理數(史稱戴德金分割),并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,才結束了無理數被認為“無理”的時代,也結束了持續(xù)2000多年的數學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割,是指將有理數集劃分為兩個非空的子集與,且滿足,,中的每一個元素都小于中的每一個元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項中,不可能成立的是( )

A. 沒有最大元素, 有一個最小元素 B. 沒有最大元素, 也沒有最小元素

C. 有一個最大元素, 有一個最小元素 D. 有一個最大元素, 沒有最小元素

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：A正確，例如M是所有的有理數,N是所有的有理數。B正確，如M是所有負的有理數，零和平方小于2的正有理數，N是所有平方大于2的正有理數。顯然M和N的并集是所有的有理數，因為平方等于2的數不是有理數。D正確，如例如M是所有的有理數，N是所有的有理數。C錯；M有最大元素a，且N有最小元素b是不可能的，因為這樣就有一個有理數不存在于M和N兩個集合中，與M和N的并集是所有的有理數矛盾