Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x≥1）}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為{2，3，4，5，6，8}．．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x≥1）}\end{array}\right.$，的圖象，判斷x+$\frac{1}{x}$-2的范圍，利用a的值，判斷方程解的個(gè)數(shù)，即可得到方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x≥1）}\end{array}\right.$的圖象，如圖：當(dāng)x＞1時(shí)，x+$\frac{1}{x}$-2＞0，當(dāng)x=1時(shí)，x$+\frac{1}{x}$-2=0，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x+$\frac{1}{x}$-2＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$-2＜0，

當(dāng)a＜0或a＞2時(shí)，函數(shù)y=f（x+$\frac{1}{x}$-2）與y=a，由一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程有兩個(gè)x值，滿足題意．
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足方程的解由x=0，與x＞0的兩個(gè)解，此時(shí)解的集合為：3個(gè)；
a=2時(shí)，方程有4個(gè)解．
a∈（1，2）時(shí)，方程有8個(gè)解．
a=1時(shí)，方程有6個(gè)解．
a∈（0，1），方程有5個(gè)解．
關(guān)于x的方程f（x+$\frac{1}{x}$-2）=a的實(shí)根個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為：{2，3，4，5，6，8}．
故答案為：{2，3，4，5，6，8}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．