Question

15．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為-2，且z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)ω滿足|ω-1|≤$\frac{\overline{z}}{z+i}$，求ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用已知列出方程組，求解可得復(fù)數(shù)z；
（2）把復(fù)數(shù)z=-1+i代入$\frac{\overline{z}}{z+i}$，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算|$\frac{\overline{z}}{z+i}$|，由復(fù)數(shù)ω滿足|ω-1|≤$\frac{\sqrt{10}}{5}$，由復(fù)數(shù)的幾何意義得出ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形是什么，從而計(jì)算出對(duì)應(yīng)面積．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），則z²=x²-y²+2xyi，
由|z|=$\sqrt{2}$，z²的虛部為-2，且z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，
得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{2}}\\{2xy=-2}\\{x＜0，y＞0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴z=-1+i；
（2）由（1）知：復(fù)數(shù)z=-1+i，
∴$\frac{\overline{z}}{z+i}$=$\frac{-1-i}{-1+2i}=\frac{（-1-i）（-1-2i）}{（-1+2i）（-1-2i）}=\frac{-1+3i}{5}$=$-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$，
∴|$\frac{\overline{z}}{z+i}$|=$\sqrt{（-\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴復(fù)數(shù)ω滿足|ω-1|≤$\frac{\sqrt{10}}{5}$，由復(fù)數(shù)的幾何意義得：
ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形是以（1，0）為圓心，$\frac{\sqrt{10}}{5}$為半徑的圓面，
∴其面積為$π•（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}=\frac{2π}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，也考查了復(fù)數(shù)模的求法與幾何意義，是中檔題．