Question

18．數(shù)列{a_n}是各項為正的等比數(shù)列，首項a₁=$\frac{1}{3}$，前3項的和S₃=$\frac{13}{27}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a_n•b_n=n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用等比數(shù)列前n項和公式列出方程，求出公比$q=\frac{1}{3}$，由此能求出等比數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由a_n•b_n=n，知${b_n}=n•{3^n}$，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
則由首項${a_1}=\frac{1}{3}$，前3項的和${S_3}=\frac{13}{27}$，
得${S_3}={a_1}+{a_2}+{a_3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{3}{q^2}=\frac{13}{27}$，
整理得9q²+9q-4=0，解得$q=\frac{1}{3}$或$q=-\frac{4}{3}$（舍去）．
∴等比數(shù)列{a_n}的通項${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=\frac{1}{3^n}$． …（5分）
（Ⅱ）由a_n•b_n=n，知${b_n}=n•{3^n}$，
則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足${S_n}=3+2•{3^2}+3•{3^3}+…+n•{3^n}$，①
等式兩邊同乘以3，得$3{S_n}={3^2}+2•{3^3}+3•{3^4}+…+（{n-1}）•{3^n}+n•{3^{n+1}}$，②
①、②兩式錯位相減，
有$-2{S_n}=3+{3^2}+{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}=\frac{{3（{1-{3^n}}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}$，
整理得數(shù)列{b_n}的前n項和${S_n}=\frac{3}{4}+（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）{3^{n+1}}$．…（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查等比數(shù)列、錯位相減法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．