Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且與直線l：y=x+3相切．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓上點(diǎn)A（2，1）作橢圓的弦AP，AQ，若AP，AQ的中點(diǎn)分別為M，N，若MN平行于l，則OM，ON斜率之和是否為定值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率可得 a²=2b²，橢圓C與直線l相切，由$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ \frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，得3x²+12x+18-2b²=0，△=144-4×3（18-2b²）=0，得b²=3，a²=6，可得橢圓方程
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可知PQ∥MN，所以k_PQ=k_MN=1，
設(shè)直線PQ的方程為y=x+t，代入橢圓方程并化簡得：3x²+4tx+2t²-6=0
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4t}{3}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-6}}{3}\end{array}\right.$，利用韋達(dá)定理可計算${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{2（2{t^2}-6）+（t+3）（-4t）+12t+12}}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=\frac{0}{{3{x_1}{x_2}+6（{x_1}+{x_2}）+12}}=0$．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{b^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=1-{e^2}=\frac{1}{2}$，
  即a²=2b²（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+3\\ \frac{x^2}{{2{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，得3x²+12x+18-2b²=0，
△=144-4×3（18-2b²）=0，（4分）
得b²=3，a²=6，所以橢圓方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程y=x+t，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x+t\\ \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$
得3x²+4tx+2t²-6=0的兩根為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），（7分）
由題意得$M（\frac{{{x_1}+2}}{2}，\frac{{{y_1}+1}}{2}）$，$N（\frac{{{x_2}+2}}{2}，\frac{{{y_2}+1}}{2}）$，
由題意可知PQ∥MN，所以k_PQ=k_MN=1，（8分）
${x_1}+{x_2}=-\frac{4t}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{t^2}-6}}{3}$，
${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}+2}}+\frac{{{y_2}+1}}{{{x_2}+2}}=\frac{{{x_1}+t+1}}{{{x_1}+2}}+\frac{{{x_2}+t+1}}{{{x_2}+2}}$
=$\frac{{2{x_1}{x_2}+（t+1+2）（{x_1}+{x_2}）+4（t+1）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}+2）}}$
=$\frac{{2\frac{{2{t^2}-6}}{3}+（t+1+2）\frac{-4t}{3}+4（t+1）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}+2）}}=0$，
所以O(shè)M，ON斜率之和是為定值0．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的方程，橢圓與直線的位置關(guān)系，定值問題的處理方法，屬于中檔題．