Question

2．已知圓C：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$，一動(dòng)圓與直線x=-$\frac{1}{2}$相切且與圓C外切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（6，0）的直線l與曲線T相交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作x軸的平行線與曲線T相交于點(diǎn)N，試問(wèn)是否存在直線l，使得NA⊥NB，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；
（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為x=my+6，聯(lián)立拋物線方程，利用$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0，代入化簡(jiǎn)可得（m²+6）（3m²-2）=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由題意，|PC|-（x+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=x+1，
化簡(jiǎn)可得動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意，設(shè)直線l的方程為x=my+6，聯(lián)立拋物線方程可得y²-4my-24=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24①，
∴x₁+x₂=4m²+12②，x₁x₂=36③
假設(shè)存在N（x₀，y₀），使得NA⊥NB，則y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2m④，
∴x₀=m²⑤，
∵$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0，
∴代入化簡(jiǎn)可得（m²+6）（3m²-2）=0，
∴m=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴存在直線l：x=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$y+6，使得NA⊥NB，

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度大．