Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，M、N分別為B₁B和A₁D的中點(diǎn)．
（1）求直線MN與平面ADD₁A₁所成角的正切值大小與三棱椎A(chǔ)₁-AMN的體積；
（2）求證直線MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AA₁中點(diǎn)P，連結(jié)PM，PN．∠PNM為直線MN與平面ADD₁A₁所成的角，由此能求出直線MN與平面ADD₁A₁所成的角的正切值．由VA1-AMN=VM-A1AN，利用等積法能求出三棱椎A(chǔ)₁-AMN的體積．
（2）設(shè)DD₁的中點(diǎn)為P，連PN，PM，由中位線的性質(zhì)得PN∥A₁D₁，PM∥D₁B₁，由此能證明直線MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：取AA₁中點(diǎn)P，連結(jié)PM，PN．
則MP⊥面ADD₁A₁．
所以∠PNM為直線MN與平面ADD₁A₁所成的角．…（2分）
在Rt△PMN中，知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PMN=

PM

PN

=2，
故直線MN與平面ADD₁A₁所成的角的正切值為2．…（4分）
S△A1AN=

1

2

S△A1AD=

1

2

×

1

2

×1×2=

1

2

，
VA1-AMN=VM-A1AN=

1

3

×S△A1AN×AB=

1

6

．（8分）
（2）證明：設(shè)DD₁的中點(diǎn)為P，連PN，PM，
由中位線的性質(zhì)得PN∥A₁D₁，PM∥D₁B₁，
所以平面PMN∥平面A₁B₁C₁D₁，直線MN?平面PMN，
直線MN∥平面A₁B₁C₁D₁．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線MN與平面ADD₁A₁所成角的正切值大小與三棱椎A(chǔ)₁-AMN的體積的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．