Question

已知函數(shù)f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）
（1）若直線y=-x+2a為曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₄∈[

1

2

，2]且x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，若不等式f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為（t，f（t）），則

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a

，解出方程組可求；
（2）先求f'（x），令f'（x）=0，可得極值點(diǎn)，分極值點(diǎn)在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)、外進(jìn)行討論可得函數(shù)的最大值；
（3）f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，等價(jià)于f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）的最大值小于等于λ．a(chǎn)=2時(shí)可得f（x），且由（2）知y=4-x為其切線，先由圖象分析然后可證明f（x）≤4-x，由此對(duì)f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）放大，f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）≤4×2014-（x₁+x₂+…+x₂₀₁₄）=6042，從而可求最大值，注意檢驗(yàn)等號(hào)取得條件．

解答： 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（t，f（t）），則

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a

，
由f'（t）=-1，有

9(1-at2)

(1+at2)2

=-1，化簡(jiǎn)得a²t⁴-7at²+10=0，即at²=2或at²=5，①
由f（t）=-t+2a，有

9t

1+at2

=2a-t，②
由①、②解得a=2或a=

5 3 4

4

．      …（4分）
（2）f′(x)=

9[1•(1+ax2)-x•2ax]

(1+ax2)2

=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，…（6分）
令f'（x）=0，解得x=±

a

a

（負(fù)值舍去），
（�。┊�(dāng)

a

a

≥2即0＜a≤

1

4

時(shí)，由P，得f'（x）≥0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f(2)=

18

4a+1

．…（7分）
（ⅱ）當(dāng)

a

a

≤

1

2

即a≥4時(shí)，由x∈[

1

2

，2]，得f'（x）≤0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為A．…（8分）
（ⅲ）當(dāng)

1

2

＜

a

a

＜2即

1

4

＜a＜4時(shí)，
∵在

1

2

＜x＜

a

a

時(shí)，f′（x）＞0，在

a

a

＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為f（

a

a

）=

9 a

2a

．…（9分）
（3）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

9x

1+2x2

，
由（1）的結(jié)論知直線y=4-x為曲線y=f（x）的切線，
∵f（2）=2，∴點(diǎn)（2，f（2））在直線y=4-x上，
根據(jù)圖象分析，曲線y=f（x）在直線y=4-x下方．   …（10分）
下面給出證明：當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）≤4-x．
∵f（x）-（4-x）=

2(x-1)2(x-2)

1+2x2

，
∴當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）-（4-x）≤0，即f（x）≤4-x．…（12分）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤4×2014-（x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄），
∵x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤6042．
∴要使不等式f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，必須λ≥6042．…（13分）
又∵當(dāng)x₁=x₂=x₃=…=x₂₀₁₄=1時(shí)，滿足條件x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，
且f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）=3×2014=6042，
因此，λ的最小值為6042．    …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分類討論，計(jì)算推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新意識(shí)．