Question

10．已知函數(shù)f（x）=$cosx（sinx+cosx）+\frac{1}{2}$
（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，求f（a）的值．
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求f（a）的值．
（2）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：函數(shù)f（x）=$cosx（sinx+cosx）+\frac{1}{2}$
（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，
則f（a）=sinαcosα+cos²α+$\frac{1}{2}$=$\frac{sinαcosα+cos^2α+\frac{1}{2}（si{n}^{2}α+co{s}^{2}α）}{si{n}^{2}α+cos^2α}$=$\frac{tanα+1+\frac{1}{2}ta{n}^{2}α+\frac{1}{2}}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{17}{10}$；
 （2）將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{3π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{3π}{8}+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．