Question

在直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O,橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

(1)求圓C的方程.

(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段OF的長,若存在,請求出Q的坐標;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

（1）(x+2)2+(y-2)2=8. （2）存在，Q

【解析】(1)設圓C的圓心為A(p,q),

則圓C的方程為(x-p)2+(y-q)2=8.

因為直線y=x與圓C相切于坐標原點O,

所以O在圓C上,且直線OA垂直于直線y=x.

于是有⇒或

由于點A(p,q)在第二象限,故p<0.

所以圓C的方程為(x+2)2+(y-2)2=8.

(2)因為橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點距離之和為10,所以2a=10⇒a=5,故橢圓右焦點為F(4,0).

若圓C上存在異于原點的點Q(x0,y0)到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長,則有|QF|=|OF|,于是(x0-4)2+=42,且+≠0.①

由于Q(x0,y0)在圓上,故有(x0+2)2+(y0-2)2=8.②

解①和②得

故圓C上存在滿足條件的點Q.