Question

6．已知：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），頂點(diǎn)在x軸上，且對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．設(shè)直線y=x與二次函數(shù)的圖象自左向右分別交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)，OP：PQ=1：3．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求△PAQ的面積．

Answer 1

分析 （1）用b表示出a，聯(lián)立方程組消去y，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{OP}{OQ}=\frac{1}{4}$，從而得出a的值；
（2）求出P、Q的坐標(biāo)計(jì)算AQ，P到AQ的距離即可得出三角形的面積．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），頂點(diǎn)在x軸上，
∴c=4，b²-4ac=b²-16a=0，∴a=$\frac{^{2}}{16}$＞0，
又二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴-$\frac{2a}$＞0，∴b=-4$\sqrt{a}$．
∴y=ax²-4$\sqrt{a}$x+4，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}-4\sqrt{a}x+4}\end{array}\right.$得ax²-（4$\sqrt{a}$+1）x+4=0，
∴x₁=$\frac{4\sqrt{a}+1-\sqrt{8\sqrt{a}+1}}{2a}$，x₂=$\frac{4\sqrt{a}+1+\sqrt{8\sqrt{a}+1}}{2a}$，
∵OP：PQ=1：3．∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{4\sqrt{a}+1-\sqrt{8\sqrt{a}+1}}{4\sqrt{a}+1+\sqrt{8\sqrt{a}+1}}$=$\frac{1}{4}$，解得a=1，∴b=-4．
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+4．
（2）由（1）可知x₁=y₁=1，x₂=y₂=4，
∴AQ=4，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}×4×（4-1）$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．