Question

17．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）已知直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-2與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)C，使得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{OC}$，求m的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由實(shí)軸長(zhǎng)可得a值，由焦點(diǎn)到漸近線的距離可得b，c的方程，再由a，b，c間的平方關(guān)系即可求得b；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），則x₁+x₂=mx₀，y₁+y₂=my₀，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂，進(jìn)而求得y₁+y₂，從而可得$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，再由點(diǎn)D在雙曲線上得一方程，聯(lián)立方程組即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得m值．

解答 解：（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，得a=2$\sqrt{3}$，
漸近線方程為y=$\frac{2\sqrt{3}}$x，即bx-2$\sqrt{3}$y=0，
∵焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+12}}$=$\sqrt{3}$，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），則x₁+x₂=mx₀，y₁+y₂=my₀，
由直線與雙曲線方程聯(lián)立，可得${x}^{2}-16\sqrt{3}x+84=0$，∴x₁+x₂=16$\sqrt{3}$，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}×16\sqrt{3}$-4=12，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x₀=4$\sqrt{3}$，y₀=3，∴m=4，
∴C（4$\sqrt{3}$，3），m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查向量的線性運(yùn)算，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．