Question

12．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，若$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|-|{OA}|}}$存在最小值為12a，則雙曲線一三象限的漸近線傾斜角的余弦值的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|-|OA|=m，則$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|-|{OA}|}}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{m}$=$m+\frac{9{a}^{2}}{m}$+6a≥12a，當(dāng)且僅當(dāng)m=3a，取等號(hào)，|PF₁|=4a，可得5a≥c，$\frac{a}$≤2$\sqrt{6}$，設(shè)雙曲線一三象限的漸近線傾斜角為α，則0＜tanα≤2$\sqrt{6}$，cosα≥$\frac{1}{5}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)|PF₁|-|OA|=m，則$\frac{{{{|{P{F_2}}|}^2}}}{{|{P{F_1}}|-|{OA}|}}$=$\frac{（3a+m）^{2}}{m}$=$m+\frac{9{a}^{2}}{m}$+6a≥12a，
當(dāng)且僅當(dāng)m=3a，取等號(hào)，∴|PF₁|=4a，
∴4a≥c-a，∴5a≥c，
∴25a²≥a²+b²，∴$\frac{a}$≤2$\sqrt{6}$，
設(shè)雙曲線一三象限的漸近線傾斜角為α，則0＜tanα≤2$\sqrt{6}$，∴cosα≥$\frac{1}{5}$，
∴雙曲線一三象限的漸近線傾斜角的余弦值的最小值是$\frac{1}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．