Question

17．若$α，β∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，且αsinα-βsinβ＞0，則下列關(guān)系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²其中正確的序號(hào)是：④．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，利用f′（x）判斷f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性，從而選出正確答案．

解答 解：根據(jù)題意，令f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上為偶函數(shù)；
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在x∈[0，$\frac{π}{2}$]單調(diào)遞增；
同理可證偶函數(shù)f（x）=xsinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]單調(diào)遞減；
∴當(dāng)0≤|β|＜|α|≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立，
∴α²＞β²，④正確；
其他命題不一定成立．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)應(yīng)構(gòu)造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，研究函數(shù)f（x）=xsinx的奇偶性與單調(diào)性解決問題，是難題．