Question

已知α，β∈R，寫出用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示cos（α-β）的關(guān)系等式，并證明這個關(guān)系等式．

Answer 1

分析：結(jié)論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．證明：如圖所示，

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），利用兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式可得
cos＜

OA

，

OB

＞=cosαcosβ+sinαsinβ，再由 α-β=＜

OA

，

OB

＞+2kπ，或α-β=-＜

OA

，

OB

＞+2kπ，可證得結(jié)論成立．

解答：解：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．-----（2分）
證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α、β，它們的終邊與單位圓的交點分別為A，B．
則

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
由向量數(shù)量積的定義，有

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|cos＜

OA

，

OB

＞=cos＜

OA

，

OB

＞，
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ．
于是cos＜

OA

，

OB

＞=cosαcosβ+sinαsinβ． ①------（7分）
對于任意的α、β，總可選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)k，使得 α-β=＜

OA

，

OB

＞+2kπ，或α-β=-＜

OA

，

OB

＞+2kπ，
故對于任意的α、β，總有 cos（α-β）=cos＜

OA

，

OB

＞成立，帶入①式得，
對 α、β∈R，總有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ  成立．------（12分）

點評：本題主要考查兩角差的余弦公式及其證明方法，兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，終邊相同的角，屬于中檔題．