Question

【題目】已知點(diǎn)P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交于M，N兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)G（0， ）的動(dòng)直線l與點(diǎn)的軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)Q，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）在y軸上存在定點(diǎn)Q（0，﹣1），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得點(diǎn)M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）直線l的方程可設(shè)為 ，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B橫坐標(biāo)的和與積，假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，可得 ，即 ．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得m值，即定點(diǎn)Q得坐標(biāo)．

試題解析：

（1）由圓F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），則F2（﹣1，0），

由題意得 ，

∴點(diǎn)M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，

∵

∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為；

（2）直線l的方程可設(shè)為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．

則+= ， = ，

假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，

則，即．

∵ ，

∴= + = +

∴ ，解得m=﹣1．

因此，在y軸上存在定點(diǎn)Q（0，﹣1），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)．