【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的極小值為0,.
①求的值;
②若對于任意的,,有成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為(2)①②
【解析】
(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.
(2)①由已知可得,,求出導(dǎo)函數(shù),令,利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可求解; ②設(shè),根據(jù)題意只需成立,求出,結(jié)合①分類討論,若,當(dāng)時,,不滿足,故必有,令,解得,根據(jù)與定義域的關(guān)系進行討論:分或,利用導(dǎo)數(shù)求出即可求解.
解:(1)由已知得,
令,方程無實數(shù)解,
可知對任意都有,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,無增區(qū)間.
(2)由已知化簡得,.
①,令,解得.
當(dāng)變化時,,的變化情況如下表:
0 | |||
極小值 |
故極小值.因為極小值為0,所以.
②設(shè),
根據(jù)題意,對任意的,,有成立,
可得.
由①可知,當(dāng)時,在處取得最小值0,
又因為在上遞增,所以當(dāng)時,.
若,則當(dāng)時,,不符題意,舍去.故必有.
令,解得.
下面根據(jù)與定義域的關(guān)系進行討論:
當(dāng),即時,在上恒成立,
因此在,上遞減,從而當(dāng),時,
總有,故符合題意;
當(dāng),即時,可知對任意的,恒成立,
因此在,內(nèi)遞增.
因為,所以當(dāng)時,,不合題意.
綜上,的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在其定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在實數(shù).滿足,則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,是它的一個均值點.
(1)判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,并說明理由
(2)若函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
(3)設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”,1是函數(shù)的一個均值點,求所有滿足條件實數(shù)對.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若兩條互相垂直的直線都經(jīng)過原點(兩條直線與坐標(biāo)軸都不重合)且與曲線分別交于點(異于原點),且,求這兩條直線的直角坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列前項和為,對任意,點都在函數(shù)圖像上.
(1)求、、,并猜想數(shù)列的通項公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想;
(3)若數(shù)列滿足:,,且對任意的,都有、、成公比為的等比數(shù)列,、、成等差數(shù)列,設(shè),求數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上無零點,求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān).現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:,,,,分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率.
(Ⅱ)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
附表:
P() | 0.100 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
,(其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖231所示.
圖231
將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.
(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;
(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機變量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)作為藍色海洋教育特色學(xué)校,隨機抽取100名學(xué)生,進行一次海洋知識測試,按測試成績(假設(shè)考試成績均在[65,90)內(nèi))分組如下:第一組[65,70),第二組 [70,75),第三組[75,80),第四組 [80,85),第五組 [85,90).得到頻率分布直方圖如圖C34.
(1)求測試成績在[80,85)內(nèi)的頻率;
(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識宣講小組,定期在校內(nèi)進行義務(wù)宣講,并在這6名學(xué)生中隨機選取2名參加市組織的藍色海洋教育義務(wù)宣講隊,求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線過點.
① 求實數(shù)的值;
② 設(shè)函數(shù),當(dāng)時,試比較與的大;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,(),求證:.
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