Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（Ⅰ）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（Ⅲ）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a得到范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x-ex-e，f'（x）=e^x-e，
當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=-e，函數(shù)f（x）無(wú)極大值．
（Ⅱ）f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
則在（-∞，lna]上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，f（x）趨近于負(fù)無(wú)窮大；
當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，f（x）趨近于正無(wú)窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當(dāng)x＜lna時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞lna時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，屬于中檔題．