【題目】如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,EPC的中點(diǎn).

)證明PA//平面BDE;

)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;

)在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.

【答案】)證明見解析;( ;()證明見解析.

【解析】

(Ⅰ)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明PA∥平面BDE;(Ⅱ)由已知求出平面BDE的一個法向量和平面DEC的一個法向量,利用向量法能求出二面角BDEC的余弦值;(Ⅲ)由已知得PBDE,假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF,設(shè),(0λ1),由此利用向量法能求出在棱PB上存在點(diǎn)F,PF=,使得PB⊥平面DEF

)證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),

分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PD=DC=2,則A2,0,0),P0,0,2),E0,1,1),B2,20),

=2,0,﹣2),=0,1,1),,

設(shè)是平面BDE的一個法向量,

則由,得,

y=1,得

=22=0,

PA不包含于平面BDE,PA∥平面BDE;

)由()知=1,﹣1,1)是平面BDE的一個法向量,

==2,0,0)是平面DEC的一個法向量.

設(shè)二面角BDEC的平面角為θ,

∴cosθ=cos,=

故二面角BDEC的余弦值為

=2,2,﹣2),=0,11),

=0,∴PB⊥DE,

假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使PB⊥平面DEF,設(shè),(0λ∠1),

=,,﹣),==,,2),

=0,得2+4λ22=0,

0,1),此時PF=,

即在棱PB上存在點(diǎn)F,PF=,使得PB⊥平面DEF

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)根據(jù)莖葉圖,計算甲班被抽取學(xué)生成績的平均值及方差;

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7840 1160 5054 3139 8082 7732 5034 3682 4829 4052

4201 6277 5678 5188 6854 0200 8650 7584 0136 7655

A.B.C.D.

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零件數(shù)x(個)

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

加工時間y(分)

62

68

75

81

89

95

102

108

115

122

1yx是否具有線性相關(guān)關(guān)系?

2)如果yx具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程;

3)根據(jù)求出的回歸直線方程,預(yù)測加工200個零件所用的時間為多少?

:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.

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