Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³+ax²（常數(shù)a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+16x+8在x∈[2，+∞） 時為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分a=0，a≠0兩種情況進行討論，利用奇偶函數(shù)的定義可作出判斷；
（2）函數(shù)h（x）在x∈[2，+∞）時為增函數(shù)，等價于h′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．分離出參數(shù)a后轉化為求函數(shù)的最值即可；

解答：解：（1）①當a=0時，f（x）=

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3

x³．
對任意x∈R，f（-x）=

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3

（-x）³=-

1

3

x³=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
②當a≠0時，f（x）=

1

3

x³+ax²（a≠0）．
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2a≠0，f（-1）-f（1）=-

2

3

≠0．
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）函數(shù)h（x）在x∈[2，+∞）時為增函數(shù)，等價于h′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立．
h（x）=f（x）+16x+8=

1

3

x³+ax²+16x+8，h′（x）=x²+2ax+16，
則h′（x）≥0，即x²+2ax+16≥0，
故2a≥-(x+

16

x

)在x∈[2，+∞）上恒成立，
∵-（x+

16

x

）≤-2

x• 16 x

=-8，當且僅當x=4時取等號，
∴2a≥-8，解得a≥-4，
故a的取值范圍是[-4，+∞）．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)奇偶性的判斷，屬中檔題，奇偶性問題常用定義解決，恒成立問題常轉化為函數(shù)最值．