Question

7．若直線y=x+k與曲線x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A． k=-$\sqrt{2}$或-1＜k≤1
• B． k≥$\sqrt{2}$或k≤-$\sqrt{2}$
• C． -$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$
• D． k=±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 曲線x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示一個(gè)半圓（單位圓位于x軸及x軸右側(cè)的部分）．當(dāng)直線y=x+k經(jīng)過點(diǎn)A、B時(shí)，分別求得k的值，再求出當(dāng)直線y=x+k和半圓相切時(shí)k的值，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：曲線x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$，即x²+y²=1 （x≥0），表示一個(gè)半圓（單位圓位于x軸及x軸右側(cè)的部分）．
如圖，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
當(dāng)直線y=x+k經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，1=0+k，求得 k=1；
當(dāng)直線y=x+k經(jīng)過點(diǎn)B、點(diǎn)C時(shí)，0=1+k，求得 k=-1；
當(dāng)直線y=x+k和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，
可得1=$\frac{|0-0+k|}{\sqrt{2}}$，求得k=-$\sqrt{2}$，或k=$\sqrt{2}$（舍去），
故要求的實(shí)數(shù)k的范圍為k=-$\sqrt{2}$或-1＜k≤1
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．