Question

在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=2，E、F、G分別為PC、AC、PA的中點(diǎn)．
（I）求證：平面BCG⊥平面PAC；
（II）在線段AC上是否存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先根據(jù)BC⊥PB，BC⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAB，從而PA⊥BC，然后利用等腰三角形PAB的中線，得到PA⊥BG，再用線面垂直的判定定理，得到PA⊥平面BCG，最后用面面垂直的判定定理，得到平面BCG⊥平面PAC；
（II）連接BE，取BE中點(diǎn)MS，連接PM并延長(zhǎng)，交BC于S點(diǎn)，在△ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作SN∥AB，交AC于N點(diǎn)，則點(diǎn)N就是所求的點(diǎn)．證明如下：首先在Rt△PBC中，利用正切算出∠BPC=60°，從而有BE=AE=PB，得到△PBE是等邊三角形，結(jié)合M是BE中點(diǎn)，得到PS⊥BE，然后利用直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，得到SN⊥平面PBC，結(jié)合BE?平面PBC，得到BE⊥SN，利用直線與平面垂直的判定定理，得到BE⊥平面PSN，最后根據(jù)PN?平面PSN，結(jié)合線面垂直的定義，得出PN⊥BE．
解答：解：（I）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PB，
∵BC⊥AB，AB、PB是平面PAB內(nèi)的相交直線，
∴BC⊥平面PAB
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC
又∵△PAB中，BA=BP，G為PA中點(diǎn)，
∴PA⊥BG
∵BC∩BG=B，BC、BG?平面BCG，
∴PA⊥平面BCG，
∵PA?平面PAC，
∴平面BCG⊥平面PAC；
（II）在線段AC上存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE．
連接BE，取BE中點(diǎn)MS，連接PM并延長(zhǎng)，交BC于S點(diǎn)，
在△ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作SN∥AB，交AC于N點(diǎn)，則點(diǎn)N就是所求的點(diǎn)．
∵Rt△PBC中，PB=2，BC=2，
∴tan∠BPC==，可得∠BPC=60°
∵E是Rt△PBC斜邊上的中線，
∴BE=AE=PB=2，△PBE是等邊三角形
∵M(jìn)是BE中點(diǎn)，∴PM⊥BE，即PS⊥BE，
由（I）可得：AB⊥PB，結(jié)合AB⊥BC，PB、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面PBC，
∵SN∥AB，∴SN⊥平面PBC，
∵BE?平面PBC，∴BE⊥SN，
又∵SN、PS是平面PNS內(nèi)的相交直線，
∴BE⊥平面PSN
∵PN?平面PSN
∴PN⊥BE．
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的三棱錐，通過(guò)證明面面垂直與線線垂直，著重考查了直線與平面垂直的性質(zhì)與判定、平面與平面垂直的判定等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．