Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，側面APD為等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PC上不同于端點的一點．
（Ⅰ）求證：PA⊥DE：
（Ⅱ）設AD=2BC=2，CD=，求三棱錐D-PBC的高．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴DC⊥平面PAD
∵PA?平面PAD，∴DC⊥PA
∵PA⊥PD，PD∩DC=D，∴PA⊥平面PDC
∵DE?平面PDC，∴PA⊥DE；
（Ⅱ）作PF⊥AD，F(xiàn)為垂足，則F為AD中點，且PF=1，連接BF
∵PF⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PF⊥底面ABCD，∴PF⊥BF
∵BC∥FD，BC=FD，∴四邊形BCDF是平行四邊形
∵BF=CD=，∴PB=2
∵BF∥CD，AD⊥CD，∴AD⊥BF
∵AD⊥PF，BF∩PF=F
∴AD⊥面PFB，∴BC⊥面PFB
作FH⊥PB，垂足為H，由FH?面PFB，可得FH⊥BC
∴FH⊥面PBC，∴FH的長度為F到面PBC的距離
∵FD∥BC，BC?面PBC，F(xiàn)D?面PBC
∴FD∥面PBC
設棱錐D-PBC的高為h，∴h=FH
由PF•FB=PB•FH，得FH=
∴三棱錐D-PBC的高為
分析：（Ⅰ）證明PA⊥DE，只需證明PA⊥平面PDC，利用AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，可證DC⊥平面PAD，從而可得結論；
（Ⅱ）作PF⊥AD，F(xiàn)為垂足，則F為AD中點，且PF=1，連接BF，可得BC⊥面PFB，作FH⊥PB，垂足為H，由FH?面PFB，可得FH⊥BC，從而FH⊥面PBC，故FH的長度為F到面PBC的距離，即三棱錐D-PBC的高．
點評：本題考查面面垂直、線面垂直、線線垂直，考查三棱錐的高，解題的關鍵是正確面面垂直的性質、線面垂直的判定，正確作出三棱錐的高．