Question

12．已知△ABC三內(nèi)角的正弦值等于△A₁B₁C₁的三內(nèi)角的余弦值，角A、B、C所對應(yīng)的邊為a，b，c，且A為鈍角，a=2$\sqrt{5}$．b=2$\sqrt{2}$，則△ABC的面積為2．

Answer 1

分析 設(shè)：sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁，可得A₁，B₁，C₁ 都為銳角，又A為鈍角，則B，C為銳角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角和定理可知：A=A₁=A-90°，B₁=90°-B，C₁=90°-C，
相加可解得A=$\frac{3π}{4}$，利用余弦定理可得c²+4c-12=0，解得c，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：∵△ABC三內(nèi)角的正弦值等于△A₁B₁C₁的三內(nèi)角的余弦值，
∴不妨設(shè)：sinA=cosA₁，sinB=cosB₁，sinC=cosC₁，
∵cosA₁＞0，cosB₁＞0，cosC₁＞0，
∴A₁，B₁，C₁ 都為銳角，
又A為鈍角，則B，C為銳角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角和定理可知：A=A₁=A-90°，B₁=90°-B，C₁=90°-C，
相加可得：A-B-C+90°=A₁+B₁+C₁，
解得：A=$\frac{3π}{4}$．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：20=8+c²+4c，即：c²+4c-12=0，解得：c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．