Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓的左、右焦點分別是F₁、F₂，點M為橢圓上的一個動點，△MF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P為橢圓上一點，PF₁與y軸相交于Q，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$．若PF₁與橢圓相交于另一點R，求△PRF₂的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ） 由$\overrightarrow{F1P}$=2$\overrightarrow{F1Q}$，知Q為F₁P的中點，設Q（0，y），則P（1，2y），由此利用韋達定理、弦長公式能求出△PRF₂的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，
橢圓的左、右焦點分別是F₁、F₂，點M為橢圓上的一個動點，△MF₁F₂面積的最大值為$\sqrt{3}$．
∴由已知條件：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$．
解得a=2，$b=\sqrt{3}，c=1$．
∴橢圓C的方程為$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1．…（4分）
（Ⅱ） 由$\overrightarrow{F1P}$=2$\overrightarrow{F1Q}$，知Q為F₁P的中點，
∴設Q（0，y），則P（1，2y），
又P滿足橢圓的方程，代入求得y=$\frac{3}{4}$．∴直線PF方程為y=$\frac{3}{4}$（x+1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}（x+1）\\ \frac{x2}{4}+\frac{y2}{3}=1\end{array}$ 得7x²+6x-13=0，…（8分）
設P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6}{7}$，x₁x₂=-$\frac{13}{7}$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{6}{7}，{y_1}{y_2}=-\frac{27}{28}$，
∴${S_{△PR{F_2}}}=\frac{1}{2}•2c•|{{y_1}-{y_2}}|=c•\sqrt{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{15}{7}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達定理、弦長公式的合理運用．