Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)是$（\frac{π}{12}，1）$，相鄰的兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到．

Answer 1

分析 （1）由相鄰的兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為$\frac{π}{2}$，可求周期，利用周期公式可求ω，由$f（\frac{π}{12}）=sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，結(jié)合范圍|φ|＜π，可求$φ=\frac{π}{3}$，從而可求函數(shù)解析式．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．
解法一：按照縱坐標(biāo)不變先φ（左、右平移），縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再ω，就是橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍；
解法二：將函數(shù)y=sinx的圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，是先ω，再φ的變換過(guò)程．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因?yàn)閒（x）相鄰的兩對(duì)稱(chēng)中心的距離為$\frac{π}{2}$，
所以$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π（1分）
所以$ω=\frac{2π}{T}=2$（2分）
所以f（x）=sin（2x+φ）
因?yàn)?f（\frac{π}{12}）=sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，
所以$φ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$（3分）
因?yàn)閨φ|＜π，所以$φ=\frac{π}{3}$（4分）
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$（6分）
（2）解法一：
將函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位（8分）
得到$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的圖象（9分）
然后將$y=sin（x+\frac{π}{3}）$的圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$（11分）
得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象（12分）
解法二：將函數(shù)y=sinx的圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$（8分）
得到y(tǒng)=sin2x的圖象（9分）
然后將y=sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位（11分）
得到$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的圖象（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．