（11分）探究：是否存在常數(shù)a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)

對(duì)對(duì)一切正自然數(shù)n均成立，若存在求出a、b、c，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有

證明見(jiàn)解析。

【解析】先令n=1,2,3建立關(guān)于a,b,c的三個(gè)方程，解出a,b,c的值.然后再證明時(shí)，也成立.由于是與n有關(guān)的證明問(wèn)題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有

于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=

記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)

=［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1也成立.

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切正自然數(shù)n均成立.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對(duì)任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D滿足等式
f(x1)+f(x2)2
=M，則稱M為函數(shù)y=f （x）的“均值”．
（1）判斷1是否為函數(shù)f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=ax2-2x（1＜x＜2，a為常數(shù)）存在“均值”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域?yàn)閰^(qū)間I．試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個(gè)數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，說(shuō)明理由．
（Ⅲ）設(shè)G（x）=f（x）+2-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1，x0，x2成等差數(shù)列，試探究G'（x0）值的符號(hào)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x）和g（x），若存在常數(shù)k，m，對(duì)于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，則稱直線y=kx+m是函數(shù)f（x），g（x）的分界線．已知函數(shù)f（x）=ex（ax+1）（e為自然對(duì)數(shù)的底，a∈R為常數(shù)）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a=1，試探究函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=-x2+2x+1是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，試寫(xiě)出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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