Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，為側(cè)棱CC₁上一點(diǎn)，AM⊥BA₁
（1）求二面角B-AM-C；
（2）求點(diǎn)C到平面ABM的距離．

Answer 1

解：（1）由直三棱柱得性質(zhì)，側(cè)面A₁C⊥底面ABC，BC⊥AC，BC⊥面A₁C，∴BC⊥AM，又AM⊥BA₁
∴AM⊥面BCA₁，垂足為H，AH⊥CH．連接BH，BH?面BCA₁，∴AM⊥BH，∠BHC為二面角B-AM-C的平面角．在直角三角形A1AC中，A₁C=3，由直角三角形射影定理，得出CH=1，又CB=1，∴△BCH為等腰直角三角形，∠BHC=45°，二面角B-AM-C大小為45°．
（2）在ABC 中，作CD⊥AB于D，連接 DM，則 AB⊥面MCD，AB?面 MAB，∴面 MAB面⊥面 MCD 且交線為 MD，在△MCD中，作 CO⊥MD，則CO⊥面 MAB，CO為點(diǎn)C到平面ABM的距離．
由△CMO∽△A1AO，得出MC=，又CD=，由勾股定理得MD=，利用等面積法：MD×CO=MC×CD，∴CO=，即點(diǎn)C到平面ABM的距離是．
分析：（1）設(shè)AM與A₁C交于H，證出AM⊥面BCA₁，得出∠BHC為二面角B-AM-C的平面角，得出△BCH為等腰直角三角形，∠BHC=45°
（2）在ABC 中，作CD⊥AB于D，連接 DM，在△MCD中，作 CO⊥MD，則CO⊥面 MAB，CO為點(diǎn)C到平面ABM的距離，在△MDC中求CO即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的計(jì)算，空間距離的計(jì)算，線面垂直，面面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計(jì)算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．