Question

11．如果△A₁B₁C₁的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A₂B₂C₂的三個內(nèi)角的正弦值，則下列結(jié)論正確的是④．
①△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是銳角三角形
②△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂都是鈍角三角形
③△A₁B₁C₁是鈍角三角形，△A₂B₂C₂是銳角三角形
④△A₁B₁C₁是銳角三角形，△A₂B₂C₂是鈍角三角形．

Answer 1

分析 首先根據(jù)正弦、余弦在（0，π）內(nèi)的符號特征，確定△A₁B₁C₁是銳角三角形；
然后假設(shè)△A₂B₂C₂是銳角三角形，則由cosα=sin（$\frac{π}{2}$-α）推導(dǎo)出矛盾；
再假設(shè)△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；
最后得出△A₂B₂C₂是鈍角三角形的結(jié)論．

解答 解：因為△A₂B₂C₂的三個內(nèi)角的正弦值均大于0，
所以△A₁B₁C₁的三個內(nèi)角的余弦值也均大于0，則△A₁B₁C₁是銳角三角形．
若△A₂B₂C₂是銳角三角形，由$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{sin{A}_{2}=cos{A}_{1}=sin（\frac{π}{2}-{A}_{1}）}\\{sin{B}_{2}=cos{B}_{1}=sin（\frac{π}{2}-{B}_{1}）}\end{array}\right.}\\{sin{C}_{2}=cos{C}_{1}=sin（\frac{π}{2}-{C}_{1}）}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{{A}_{2}=\frac{π}{2}-{A}_{1}}\\{{B}_{2}=\frac{π}{2}-{B}_{1}}\end{array}\right.}\\{{C}_{2}=\frac{π}{2}-{C}_{1}}\end{array}\right.$，
那么，A₂+B₂+C₂=$\frac{π}{2}$，這與三角形內(nèi)角和是π相矛盾；
若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨設(shè)A₂=$\frac{π}{2}$，
則sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范圍內(nèi)無值．
所以△A₂B₂C₂是鈍角三角形．
故答案為：④．

點評 本題主要考查正余弦函數(shù)在各象限的符號特征及誘導(dǎo)公式，同時考查反證法思想，屬于中檔題．