16.設函數(shù)f(x)=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$,其中向量$\overrightarrow m$=(2cosx,1),$\overrightarrow n$=(cosx,$\sqrt{3}$sin2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,求a.

分析 (1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式可得f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+1,利用周期公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
(2)由已知可得sin(2A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,結合范圍2A+$\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6}$,$\frac{13π}{6}$),可得$A=\frac{π}{3}$,利用三角形面積公式可求c,進而利用余弦定理即可求得a的值.

解答 解:(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式可得:$f(x)=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$2sin(2x+\frac{π}{6})+1$,
故周期$T=\frac{2π}{2}=π$,
再由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ\(zhòng);,\;k∈Z$,
可得單調(diào)減區(qū)間為$[\frac{π}{6}+kπ\(zhòng);,\;\frac{2π}{3}+kπ]\;,\;k∈Z$;
(2)由f(A)=2sin(2A+$\frac{π}{6}$)+1=2,
可得:sin(2A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,
由于:A∈(0,π),可得:2A+$\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6}$,$\frac{13π}{6}$),可得:2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$,
可得:$A=\frac{π}{3}$,
所以:${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×c×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,解得:c=2,
由余弦定理可得:${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA=3⇒a=\sqrt{3}$.

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算以及二倍角公式、輔助角公式,周期公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角形面積公式,余弦定理在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.直線y=x+b平分圓x2+y2-8x+2y-2=0的周長,則b=( 。
A.3B.5C.-3D.-5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.已知橢圓G:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$,右焦點為(2$\sqrt{2}$,0).斜率為1的直線l與橢圓G交于A,B兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為P(-3,2).
(1)求橢圓G的方程;
(2)求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

11.如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則下列結論正確的是④.
①△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形
②△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形
③△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形
④△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+$\frac{1}{2}$cos4x..
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)若x∈[0,$\frac{π}{8}$],求f(x)的最大值及取最大值時的x值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
$\overline{x}$$\overline{y}$$\overline{w}$$\sum_{i=1}^{8}$(xi-$\overline{x}$)2$\sum_{i=1}^{8}$(wi-$\overline{w}$)2$\sum_{i=1}^{8}$(xi-$\overline{x}$)(yi-$\overline{y}$)$\sum_{i=1}^{8}$(wi-$\overline{w}$)(yi-$\overline{y}$)
46.65636.8289.81.61469108.8
表中${w_i}=\sqrt{x_i}$,$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
(Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d$\sqrt{x}$哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的回歸方程;
(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)(Ⅱ)的結果回答下列問題:
(。┠晷麄髻Mx=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?
(ⅱ)年宣傳費x為何值時,年利率的預報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為:$\stackrel{∧}{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})}$,$\stackrel{∧}{α}$=$\overline{v}$-$\stackrel{∧}{β}$$\overline{u}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.某市十所重點中學進行高二聯(lián)考共有5000名學生,為了了解數(shù)學學科的學習情況,現(xiàn)從中隨機的抽取若干名學生在這次測試中的數(shù)學成績,制成如下頻率分布表:
分組頻數(shù)頻率
[80,90)
[90,100)0.050
[100,110)0.200
[110,120)360.300
[120,130)0.275
[130,140)12
[140,150]0.050
合計
(1)根據(jù)上面的頻率分布表,推出①,②,③,④處的數(shù)字分別為3,0.025,0.1,1;
(2)在所給的坐標系中畫出[80,150]上的頻率分布直方圖;
(3)根據(jù)題中的信息估計總體120分及以上的學生人數(shù)為2550人;
(4)在抽取的樣本中,在抽取2人,求這兩人分數(shù)恰好都在[100,110)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.函數(shù)f(x)=x3+sinx+2(x∈R),若f(a)=2,則f(-a)的值為( 。
A.5B.-2C.1D.2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案