Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．
（1）當(dāng)a=8時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=8代入，先求定義域，在求導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)、端點(diǎn)的函數(shù)值，比較極小值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，進(jìn)而求出最小值．
解答：解：（1）f（x）=x²-4x-6lnx，f'（x）=2x-4-，（2分）
由f'（x）＞0得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
注意到x＞0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，3）．
綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，3）．（6分）
（2）當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
所以f'（x）=2x-4+，
設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．
①當(dāng)a≤0時(shí)，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e²]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a（8分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+或x＜1-（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-＜x＜1+．
1若1+，即a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e²+4-2a．
2若e＜1+，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．
3若1+≤e，即0＜a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．（14分）
綜上所述，
當(dāng)a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；
當(dāng)2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，f（x）_min=；
當(dāng)a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）_min=e²-4e+2-a．（16分）
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由f′（x）＞0（＜0）得函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間，而在解不等式f′（x）＞0（＜0）時(shí)，如果含有參數(shù)時(shí)，要注意對參數(shù)分類討論．