Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值即可．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
從而B(niǎo)D²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則
A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）．
=（-1，，0），=（0，，-1），=（-1，0，0），
設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則
即，
因此可取=（，1，）
設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，
即：
可取=（0，1，），cos＜＞==-，
故二面角A-PB-C的余弦值為：-．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及應(yīng)用空間向量求空間角問(wèn)題，查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力．